「JoyToKey」というソフトウェアを使えば可能かと思われます。

JoyToKeyはゲームコントローラー（Vita）の入力をPCのキーボードやマウスの入力として認識させるように割り当てできるものです。

ありがとうございます。
ちなみに、vitaスティックでマウスカーソルを連動できるようなものはなさそうですか？

なお、Vitaからの操作が反映されにくいときがあるとのことで、ストリーミングの遅延が起きている可能性があります。
参考までに、「Vitaで快適にプレイするための「最適設定」」のセクションを追加しましたので必要に応じてご確認ください。

steamの方も移りはしましたが、失敗する時も多く、デスクトップとの違いが分かりません。誤操作については解決したので大丈夫です。

失敗する時もありますがdesktopのみストリーミングすることができます。steam big pictureは相変わらずpcのみ起動ですが、desktopのものと遊び心地が変わらないのであればこれでいいかなとも思います。vitaでの操作が時折うまくい反映されない場合の対処法はご存じでしょうか？

Sunshineのプレリリース版をインストールされているように見受けられますので、安定版の最終リリースであるv2025.924.154138をインストールされると改善されるかもしれません。

それでも解決しない場合は問題を切り分けるのが良いかと思います。
具体的にはストリーミングできないのはVitaからだけなのかどうなのかという点です。
AndroidやiOS、3DS等からの接続でも同様の問題が発生するのであれば、Sunshineに問題があることがわかりますし、そうでないのならVitaに問題があることがわかります。

desktop steamどちらもFailed to start stream Failed stage RTSP handshake（error code 104）と出て進みません。steamはpc画面でのみ勝手に起動します。aiにも聞いて少し対処しましたが変わりそうな気配がありません。何か対策をご存じでしょうか。

ViGEmBusについては、あくまでVitaを「仮想コントローラ」として認識させるためのドライバーになります。
実際に各アプリ（操作したいSteamやエミュレータなど）での入力設定は当然必要になります。
※各アプリの入力設定方法については、各アプリに依存します。
これ以上の詳細については個別の事案になるかと存じますので、AI等にご相談される方がより良い回答を得られるかもしれません。

sunshine側でDesktopとsteam big pictureの編集を押すと下に色々出ますが、出力先のところに何か入れたらよいのでしょうか？どのような操作でvitaで遊べるまでに至るかが分かりません。
それと必要とされているViGEmBusについて、pcにインストールしたはいいもののそれで終わりでいいのかが気になります。詳細な手順がないと付いていけずお手数おかけしますが、よろしくお願いします。

少し説明が不足していた部分がありましたので、「PCアプリケーションの操作方法」というセクションを追記しましたのでご確認ください。
なお、その後のアプリケーションの操作は各アプリケーションとユーザーの環境に依存します。